Можно ли избежать запрета на занятие должностью при наказании по ч. 1 ст. 264.1 УК РФ?

Здравствуйте, Дмитрий! 
Вероятно, Вы имели ввиду первую часть статьи 264 УК РФ, а не статью 264.1 УК РФ. 

Нарушение лицом, управляющим автомобилем, трамваем либо другим механическим транспортным средством, правил дорожного движения или эксплуатации транспортных средств, повлекшее по неосторожности причинение тяжкого вреда здоровью человека, -

 
наказывается ограничением свободы на срок до трех лет, либо принудительными работами на срок до двух лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового, либо арестом на срок до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до двух лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового.

Соответственно, за совершение данного преступления можно получить:

— ограничение свободы,

— принудительные работы (с/без лишением/лишения ВУ),

— арест,

— лишение свободы (с/без лишением/лишения ВУ). 

Добрый день!

Нет, нельзя.

Дополнительное наказание в виде лишения права заниматься деятельностью, связанной с управлением транспортными средствами, по ст. 264.1 УК РФ является обязательным. То есть суд обязан его назначить наряду с одним из основных.