Подскажите пожалуйста, есть ли у меня возможность без осложнений и без выезда из Грузии оформить себе продление загранпаспорта и как лучше поступить?

Добрый вечер, уважаемый Егор!

Смотрите, буду говорить простым и доступным языком, чтобы Вам было понятно. 

Значит, в данном конкретном случае, с учётом предоставленной Вами информации, с правовой точки зрения в целом, Граждане РФ, находящиеся за рубежом, ограничены в своей свободе самым главным — сроком действия загранпаспорта.

В этой связи Вы можете получить заграничный паспорт только в дипломатическом учреждении России в Грузии (СЕКЦИЯ ИНТЕРЕСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРИ ПОСОЛЬСТВЕ ШВЕЙЦАРИИ В ГРУЗИИ). 

С комплектом документов и ссылкой на предварительную запись на подачу документов можете ознакомиться на официальном сайте georgia.mid.ru/ru/konsulskaya_sluzhba/zagranichnyy_pasport/

Или в визовом центре РФ в Грузии https://georgia.interlinkservice.world/ru/contacts-tbilisi

Таким образом, поменять загранпаспорт россияне, не выезжая из Грузии, нужно в Секции интересов России при посольстве Швейцарии в Грузии в Тбилиси, расположенной по адресу проспект Ильи Чавчавадзе, 51. 

Рад был вам помочь, Егор!

В дальнейшем, можете обращаться ко мне в личный чат юриста по любым вопросам (в том числе по подготовке правовых документов, заявлений, жалоб, претензий, исков и т.д.).

Всего доброго, Вам!

Добрый вечер.

Нет, у Вас не возникнет в этой связи проблема, поскольку для целей получения паспорта Вы можете предоставить паспорт срок действия которого закончился или Ваш общегражданский паспорт.

Приказ МИД России от 12.02.2020 N 2114 предполагает, что для целей получения заграничного паспорта предоставляются следующие документы:

Заявление в одном экземпляре.
Паспорт либо иной документ, удостоверяющий личность гражданина Российской Федерации, по которым гражданин Российской Федерации осуществляет выезд из Российской Федерации и въезд в Российскую Федерацию, предусмотренные статьей 7 Федерального закона, -при подаче заявления в загранучреждение.
Документ, подтверждающий уплату консульского сбора, — в случае подачи заявления в загранучреждение 

Таким образом, для целей получения нового заграничного паспорта в загранучреждение подается прошлый заграничный паспорт.

И только в том случае

В случае если срок действия документа, указанного в абзаце первом настоящего подпункта, истек, либо если такой документ стал непригодным для использования,либо он ранее не оформлялся, допускается представление в загранучреждение действительного внутреннего паспорта.