Какие здесь действуют законы и правила?

Добрый день, Игорь! 
1) Право на заработанную пенсию при выходе из гражданства России у него сохраняется. Об этом, в частности, свидетельствует Конституционный Суд РФ в Определении Конституционного Суда РФ от 24.06.2008 N 429-О-О

Установление различных условий назначения трудовых пенсий для граждан Российской Федерации и иностранных граждан, а также лиц без гражданства не означает, что иностранные граждане и лица без гражданства лишаются права на пенсионное обеспечение по нормам российского законодательства. В частности, статьей 5 Федерального закона от 6 марта 2001 года N 21-ФЗ «О выплате пенсий гражданам, выезжающим на постоянное местожительство за пределы Российской Федерации» иностранным гражданам и лицам без гражданства гарантируется сохранение права на получение государственных пенсий, назначенных в связи с трудовой или иной общественно полезной деятельностью (службой) в соответствии с законодательством Российской Федерации, независимо от даты их выезда за пределы Российской Федерации, переезда из одного государства в другое и места жительства.

2) Для частной собственности никаких ограничений не будет, все права на нее сохраняются в полном объеме. Могут быть некоторые ограничения на приобретение в собственность некоторых видов земельных участков

В силу п. 3 ст. 15 Земельного кодекса Российской Федерации (ЗК РФ) иностранные граждане, лица без гражданства и иностранные юридические лица не могут обладать на праве собственности земельными участками, находящимися на приграничных территориях, перечень которых устанавливается Президентом Российской Федерации в соответствии с федеральным законодательством о Государственной границе Российской Федерации, и на иных установленных особо территориях Российской Федерации в соответствии с федеральными законами.

3) Иные ограничения связаны, в основном, с избирательными правами и правом принимать участие в управлении государством, в частности занять выборные должности и должности государственной службы

Здравствуйте, Игорь! 

Будет ли он получать свою заработанную российскую пенсию?

 Да, будете. Для этого Вам надо обратиться в Социальный Фонд России (до 01.01.2023 — Пенсионный Фонд России) с заявлением, согласно Постановления Правительства РФ от от 17 декабря 2014 г. N 1386, утвердившего Положение о порядке выплаты страховой пенсии лицам, выезжающим (выехавшим) на постоянное жительство за пределы территории Российской Федерации (Положение):

Заявление может быть подано не ранее чем за один месяц до дня выезда непосредственно в орган, осуществляющий пенсионное обеспечение на территории Российской Федерации

Выплата пенсии производится на территории РФ и зачисляется на счет в кредитной организации органом, осуществляющим его пенсионное обеспечение на территории РФ.

Кроме того, возможно получение пенсии по доверенности Вашему представителю.

Но выплата пенсии может выплачиваться не в полном размере, поскольку в соответствии с п. 7 Положения:

Выплата пенсии производится в установленном размере, за исключением сумм, выплата которых в соответствии с законодательством Российской Федерации обусловлена проживанием на территории Российской Федерации.

Какие здесь действуют законы и правила?

 ФЗ-400 «О страховых пенсиях», Федеральный закон от 15 декабря 2001 года N 166-ФЗ «О государственном пенсионном обеспечении в Российской Федерации», указанное Постановление. Федеральный закон от 6 марта 2001 г. N 21-ФЗ — утратил силу с 1 января 2015 г. (Федеральный закон от 21 июля 2014 г. N 216-ФЗ).