И что я могу сделать в данной ситуации?

Здравствуйте.

из-за нехватки кадров пришлось работать 6/1 по 13 часов. За месяц вышло 277 часов. Норма ли это?

Нет, не норма. 

Для более подробной консультации, нужно видеть Ваш трудовой договор.

Нормальная продолжительность рабочего времени не может превышать 40 часов в неделю.

Сверхурочная работа оплачивается за первые два часа работы не менее чем в полуторном размере, за последующие часы — не менее чем в двойном размере. Конкретные размеры оплаты за сверхурочную работу могут определяться коллективным договором, локальным нормативным актом или трудовым договором. По желанию работника сверхурочная работа вместо повышенной оплаты может компенсироваться предоставлением дополнительного времени отдыха, но не менее времени, отработанного сверхурочно (ч. 1 ст. 152 ТК РФ).

А что Вы бы хотели?

Есть такие варианты, как отказ от сверхурочной работы, жалоба в трудовую инспекцию и так далее. Но, опять же, нужно ознакомиться с трудовым договором.

С уважением,

Шелковая Наталья Николаевна