После моей просьбы продолжить оплачивать и дальше по графику, сказал, что если не оплачу полностью, то будет

Само по себе тяжёлое материальное положение, к сожалению, не является основанием для предоставления отсрочки/рассрочки. В каждом случае суды решают индивидуально. Как пример практики Определение СК по гражданским делам Верховного Суда РФ от 10 марта 2015 г. N 24-КГ15-3 

Тяжелое материальное положение и наличие долговых обязательств по другим кредитным договорам не являются основанием для рассрочки исполнения решения суда, поскольку данные обстоятельства относятся к факторам экономического риска, которые должник должен учитывать и принимать надлежащие меры к исполнению своих обязательств.

Кроме того, предоставление судом указанной рассрочки исполнения судебного решения противоречит принципу разумного срока исполнения судебных актов, закрепленного в пункте 1 статьи 6 Конвенции о защите прав человека и основных свобод, заключенной в г. Риме 4 ноября 1950 г., и части 1 статьи 6.1 Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации.

Хочу обратиться в суд о рассрочке платежей, но не уверена, что заявление будет удовлетворено, т.к. нет иждивенцев. 

вы вполне можете это сделать, даже если суд откажет, никакого негатива для вас не будет.

ГПК РФ Статья 203. Отсрочка или рассрочка исполнения решения суда, изменение способа и порядка исполнения решения суда
 

 Суд, рассмотревший дело, по заявлениям лиц, участвующих в деле, судебного пристава-исполнителя исходя из имущественного положения сторон или других обстоятельств вправе отсрочить или рассрочить исполнение решения суда, изменить способ и порядок его исполнения.

изложите в таком ходатайстве ваше имущественное положение, приведите расчет сколько на что уходит денег в месяц и тд. Мама вероятно получает пенсию? если да, и уход за ней не оформлен, то полагаю не стоит приводить ссылку на нее в ходатайстве о рассрочке. 

какая сумма долга осталась у вас к выплате? Почему спрашиваю, может быть рассмотреть вопрос вашего банкротства, если есть основания.

В августе 2020 г. Вступило в силу решение суда.Оплачивала через банкомат по номеру договора.

В таком случаи, тут Вам необходимо либо продолжать производить платежи в соответствии с установленным ранее соглашением и тогда пускай банк сам подает исполнительный лист судебным приставам. Либо обращаться в суд и устанавливать рассрочку платежей в соответствии с реальным материальным положением.

Все таки рекомендую записаться на прием к руководству банка и попытаться достичь соглашения с целью продолжать производить платежи по ранее установленной схеме.

В 2020 г. суд частично удовлетворил исковое заявление Банка о взыскании задолженности по кредитному договору.

В таком случае, в идеале, должно быть заключено мировое соглашение, которое утверждется судом.

После моей просьбы продолжить оплачивать и дальше по графику, сказал, что если  не оплачу полностью, то будет взыскание через ФССП, но сумма увеличится в 2 раза и те платежи, которые вносились, учтены не будут. 

 Тут этот «представитель банка» — не прав.

1) Сумма долга уже зафиксирована в судебном решениии и в исполнительном документе. Так что, для возможности взыскать иную сумму, банк должен будет, вновь, «просудить», уже новый, долг.

2) Вносимые заемщиком деньги, по «новому» графику, должны быть учтены, непременно. Иначе, у кредитора (банка) образуется неосновательное обогащение.

Соглашение (или иной документ) об оплате по новому графику, при исполнении решения суда, минуя приставов, необходимо изучить. Крайне рекомендую, представить его — на обозрение.