Как мне действовать по закону чтобы быстро их оттуда выселить?

Здравствуйте, Кирилл!

аргументируя тем что я не имею права их выселить в зимний период.

 Это обычное заблуждение. Нет такой нормы, которая не позволяла бы выселять в зимний период лиц, у которых прекращено право пользования жилым помещением.

Однако надо сказать, что быстро, во внесудебном порядке, выселить их у Вас не получится.

Законом не предусмотрено выселение в административном порядке. Только в судебном.

И поэтому Вам придется обращаться в суд с исковым заявлением о выселении.

Из изложенных Вами обстоятельств следует, что квартира Вами предоставлена бывшей супруге брата и её детям в безвозмездное пользование.

Какого-либо срока, в течение которого они будут проживать в Вашей квартире, Вы также не предусматривали (да и сам договор в принципе заключен не был).

Согласно ст. 699 Гражданского кодекса РФ:

1. Каждая из сторон вправе во всякое время отказаться от договора безвозмездного пользования, заключенного без указания срока, известив об этом другую сторону за один месяц, если договором не предусмотрен иной срок извещения.

Поэтому Вам первоначально (до обращения в суд) надо направить бывшей супруге брата письменное уведомление о расторжении договора безвозмездного пользования квартирой (который фактически между Вами заключен) с требованием о выселении.

Если по истечении месяца они не выселяться, тогда право пользования у них будет утрачено (поскольку договор будет считаться уже расторгнутым) и можно будет обращаться в суд с иском о выселении.

В соответствии со ст. 35 Жилищного кодекса РФ:

1. В случае прекращения у гражданина права пользования жилым помещением по основаниям, предусмотренным настоящим Кодексом, другими федеральными законами, договором, или на основании решения суда данный гражданин обязан освободить соответствующее жилое помещение (прекратить пользоваться им). Если данный гражданин в срок, установленный собственником соответствующего жилого помещения, не освобождает указанное жилое помещение, он подлежит выселению по требованию собственника на основании решения суда.

Если все делать официально, то надо обращаться в суд с иском о выселении. Суд безусловно их выселит, раз у них нет здесь регистрации.

Статья 304. Защита прав собственника от нарушений, не связанных с лишением владения

Собственник может требовать устранения всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения и не были соединены с лишением владения.

После решения суда надо будет обратиться к приставам, пристав их выселит физически из квартиры. 

Конечно она вправе просить срок на проживание. Но маловероятно чтобы суд дал ей такой срок.  То что зимний период не имеет значения. Но если вы начнете судиться сейчас, то закончите дело к весне. . 

Напишите ей в свободной форме что просите покинуть помещение. И дальше  подавайте в суд иск о выселении. Надо выписку из ЕГРН, выписку из домовой книги, госпошлина 300 р.