Или же нужно регистрировать псевдоним в обеих организациях?

Здравствуйте, Мария!

вы смешали разные понятия

товарный знак (ст. 1477 ГК РФ), он же «бренд», это специально регистрируемое обозначение. Псевдоним при соответствии его требованиям для регистрации товарных знаком тоже может быть зарегистрирован таикм способом. Это достаточно сложно, дорого и длиться от полугода.

Псевдоним гражданина (певицы) — это другое. В случаях и в порядке, предусмотренных законом, гражданин может использовать псевдоним (вымышленное имя). Для этого не требуется регистрации и каких-то формальных действий. Он просто используется по факту. При этом  псевдоним могут быть использованы с согласия этого лица другими лицами в их творческой деятельности, предпринимательской или иной экономической деятельности способами, исключающими введение в заблуждение третьих лиц относительно тождества граждан, а также исключающими злоупотребление правом в других формах. Проще говоря он подлежит правовой защите.

ISNI — это вообще не предусмотренная законом форма, которая применяется только по вашему усмотрению и по сути является одним из возможных «технических» доказательств. Никакой непосредственной правовой охраны это не дает, в отличие от того же товарного знака.

Более подробная консультация с разъяснением норм действующего законодательства и судебной практики относительно Вашего вопроса возможна в чате. Если Вам требуется помощь в составлении документов или желаете получить разъяснения по имеющимся у Вас документам  — это тоже возможно в чате. Услуги в чате оказываются на платной основе.