В центре занимаются подготовкой к школе и развивающими занятиями для детей

Федеральный закон «Об образовании в РФ» допускает ведение присмотра и ухода за детьми без наличия   лицензии на образовательную деятельность.   
1. Дошкольные образовательные организации осуществляют присмотр и уход за детьми. Иные организации, осуществляющие образовательную деятельность по реализации образовательных программ дошкольного образования, вправе осуществлять присмотр и уход за детьми.
Лицензированию не подлежит присмотр и уход за детьми, как   комплекс мер по организации питания и хозяйственно-бытового обслуживания детей, обеспечению соблюдения ими личной гигиены и режима дня, без реализации программ дошкольного образования.

Важным будет не столько  ОКВЭД при выборе такой деятельности, а не  использование   программ дошкольного образования  по уходу за детьми, здесь нужно смотреть условия договора с родителями, какие услуги и как  их   планируете оказывать, использование  программ для занятий  с детьми, системность их проведения  и т.п. 

Какие коды оквэд выбрать для детского центра без лицензии? 
Кроме уже предложенных   ОКВЭД  можете использовать

90.04.3
Деятельность учреждений клубного типа: клубов, дворцов и домов культуры, домов народного творчества
Какие договора заключать с приходящими сотрудниками? (типо договор оказания услуг?)
Вы  можете   взять физлиц на работу либо  заключить гражданско-правовые договоры (ГПД) на выполнение работ или оказание услуг. 
При заключении договора оказание услуг нужно учитывать, что он может быть переквалифицирован в трудовой 
Поэтому при его заключении нужно учитывать
— длительность отношений и многократность перезаключение договоров с одним и тем же исполнителем;
— предмет договора   он  не должен  отражать в себе  постоянную  трудовую  функция;
— выплаты должны  зависеть  от конкретного объема работ или услуг и т.п.
Такой договор можно заключить с лицом применяющим налог на профессиональный доход (самозанятым), но опять же нужно учитывать обстоятельства при которых он может быть переквалифирован в трудовой. 
Если остались вопросы по моей консультации, пишите   их здесь, если нужна более подробная консультация  либо   потребуется помощь в составлении документов напишите мне в чат, кнопка перехода рядом с моим фото. 
Удачного Вам дня!