Как доказать военкомату, что ребенка я воспитываю один, так как мать от нас ушла

Здравствуйте! Никак не докажете. Отсрочки это не даст, так как мать не лишена родительских прав. Отсрочка предоставляется только если Вы единственный родитель.

Статья 18. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации ФЗ-31

4) имеющим на иждивении четырех и более детей в возрасте до 16 лет или имеющим на иждивении и воспитывающим без матери одного ребенка и более в возрасте до 16 лет (гражданам женского пола, имеющим одного ребенка и более в возрасте до 16 лет, а также в случае беременности, срок которой составляет не менее 22 недель);

У ребенка есть мать, а следовательно в случаи Вашей мобилизации ребенок будет передан ей на воспитание.

Кроме того, воспитывать дочь обязанность на мать, равно как и на отца накладывает закон.

СК РФ Статья 63. Права и обязанности родителей по воспитанию и образованию детей

Родители несут ответственность за воспитание и развитие своих детей. Они обязаны заботиться о здоровье, физическом, психическом, духовном и нравственном развитии своих детей.

В свидетельство о рождении вписаны оба.

Это ключевой момент, который не дает права на отсрочку Вам.

 Доброго времени суток.

Отсрочка от частичной мобилизации предоставляется согласно требований ст.18 ФЗ №31 от 1997 г. «О мобилизационной подготовке и мобилизации в РФ» 

Так, ч.1  п.4 данной статьи гласит, что отсрочка предоставляется

имеющим на иждивении четырех и более детей в возрасте до 16 лет или имеющим на иждивении и воспитывающим без матери одного ребенка и более в возрасте до 16 лет (гражданам женского пола, имеющим одного ребенка и более в возрасте до 16 лет, а также в случае беременности, срок которой составляет не менее 22 недель);

К условиям ее предоставления относятся, те, что ребенку менее 16 лет, он находится на вашем иждивении и вы его воспитываете без матери. 

Чтобы доказать военкомату, что ребенок воспитывается вами одним, вам необходимо понимать, что законодателем закреплен перечень оснований оставления ребенка без попечения, который изложен в п. 1 ст.121 СК РФ, к которым относится не только смерть или лишение/ограничение родительских прав, но и 

Защита прав и интересов детей в случаях смерти родителей, лишения их родительских прав, ограничения их в родительских правах, признания родителей недееспособными, болезни родителей, длительного отсутствия родителей, уклонения родителей от воспитания детей или от защиты их прав и интересов, … при создании действиями или бездействием родителей условий, представляющих угрозу жизни или здоровью детей либо препятствующих их нормальному воспитанию и развитию, а также в других случаях отсутствия родительского попечения...

В связи с чем, полагал бы все же вам следует предоставить в комиссию по мобилизации ваше заявление о предоставлении отсрочки, согласно аналогии с требованиями  пп. г ст. 17.3 Постановления Правительства РФ  от 11 ноября 2006 года N 663, и документы:

— информацию о лицах, проживающих совместно с заявителем, и о родственных связях заявителя на основании декларирования заявителем этих сведений и проверки их в порядке межведомственного информационного взаимодействия;

— свидетельство о рождении ребенка;

— свидетельство о расторжении брака с выпиской из решения суда, определяющего проживание после развода несовершеннолетнего ребенка с отцом, либо о смерти матери ребенка, либо решение суда о лишении ее родительских прав.

Так как вы не заключали брак, то вариант заменить третий пункт на справку о семейном положении, выписку из подомовой книги, что ребенок живет с вами, на справку из школы\дет сада, что мать не принимает участие в жизни ребенка, на иные сведения, которые помогут установить отсутствие попечения матери.  Можно также обратиться в полицию с заявлением, чтобы мать привлекли по ч. 1 ст. 5.35 КоАП РФ — за ненадлежащее воспитание ребенка. И зафиксировать  факт ее отсутствия в решении по административному правонарушению. Обращайтесь в суд с иском  для ограничения ее прав или лишения родительских прав, если она не участвует в жизни ребенка и не платит алименты. Это долго, но зато поможет зафиксировать факт того, что мать не участвует в жизни ребенка. Жалуйтесь в опеку на уклонение матери от воспитания ребенка, ее рассмотрят в течении месяца и дадут официальный ответ, который также принесете в военкомат.

Мое мнение — у вас есть возможность ее получить, если все условия будут соблюдены. 

В случае, если отсрочку не дадут, обжалуйте ее в вышестоящую призывную комиссию, в прокуратуру или в суд.