Должен ли я подписывать контракт при мобилизации

В этом нет необходимости. По статусе и по денежному содержанию военнослужащие по мобилизации приравнены к контрактникам. При в этом в Указе не указано, что они должны подписывать контракт. Будет издан приказ о зачислении в списки части, с указанием что призваны по мобилизации, и все. 

В Указе Президента Российской Федерации от 21 сентября 2022 года № 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации» указано:

 Граждане Российской Федерации, призванные на военную службу по мобилизации, имеют статус военнослужащих, проходящих военную службу в Вооруженных Силах Российской Федерации по контракту.

3. Установить, что уровень денежного содержания граждан Российской Федерации, призванных на военную службу по мобилизации в Вооруженные Силы Российской Федерации, соответствует уровню денежного содержания военнослужащих, проходящих военную службу в Вооруженных Силах Российской Федерации по контракту.