Учеба там не понравилась и он взял академический отпуск (отучился только первый семестр).Плюс с деньгами

Распространяется ли на сына, как и на призванных по мобилизации закон, что не призывают ребят которые учатся на очной основе ?

 Так же нет.

Указанная отсрочка предоставляется на случай мобилизации.

Мобилизации по призыву в силу ст. 17 ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации» подлежат лица, находящиеся в запасе.

Ваш сын в запасе не находится, поскольку военную службу не проходил.

В этой связи отсрочка на основании указа Президента РФ от 24 сентября 2022 года № 664 «О предоставлении отсрочки от призыва на военную службу по мобилизации» на него не распространяется.

Стоит ли продлить академический отпуск в институте на второй год, что бы пока не присылали повестку или это не спасёт ситуацию?

 Это также не спасает ситуацию, поскольку продляя академический отпуск он опять утрачивает право на отсрочку, ввиду того, что срок обучения нельзя увеличивать более чем на год.

На это прямо указано в ст. 24 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»

Право на предусмотренную настоящим подпунктом отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином:
получившим во время освоения образовательной программы академический отпуск
Право на отсрочку от призыва на военную службу сохраняется за гражданином по основаниям, предусмотренным настоящим абзацем, только при условии, если общий срок, на который гражданину была предоставлена отсрочка от призыва на военную службу для обучения в данной образовательной организации или в образовательной организации, из которой осуществлен перевод, не увеличивается или увеличивается не более чем на один год

Отправляют ли институты сведения в военкоматы о тех, кто взял академический отпуск или отправляются только сведения об отчислении?

 Да, в рамках проводимой учетной работы.

Спасёт ли справка из колледжа, что он проходит очное обучение или лучше ничего не приносить в военкомат?

 Нет, не спасет, ввиду того, что отсрочку при поступлении в колледж он утратит.

Хочется просто доучиться и не прерывать обучение.Подскажите как поступить правильно .

 Самый правильный вариант — это доучиваться в вузе. Во всех иных случаях он право на отсрочку в связи с обучением утрачивает.

Или искать вариант получения отсрочки по иным основаниям. 

Можно воспользоваться отсрочкой от мобилизации, если колледж — государственный, программа имеет государственную аккредитацию, форма обучения — очная или очно-заочная, СПО он получает впервые, т.е. у него нет диплома СПО.

 На основании чего лицо, которое не подлежит призыву по мобилизации может воспользоваться отсрочкой?