Скажите, могут ли члены военкомата знать, с кем я в браке?

В учетной карточке меняется ваш статус, всегда уведомляют военкомат ( вы сами должны уведомлять военкомат)

Ваши обязанности прописаны в военном билете.

Справка о семейном положении призывника — это документ, отражающий актуальные данные о составе семьи призывника и ее материальном положении. Военкомы требуют предоставить справку о составе и материально-социальном положении семьи, которую выдают по месту прописки. 

Статья 21.5. Неисполнение гражданами обязанностей по воинскому учету КОАП.

Неявка гражданина, состоящего или обязанного состоять на воинском учете, по вызову (повестке) военного комиссариата или иного органа, осуществляющего воинский учет, в установленные время и место без уважительной причины, неявка в установленный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства, расположенное за пределами территории муниципального образования, место пребывания на срок более трех месяцев либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию, а равно несообщение в установленный срок в военный комиссариат или в иной орган, осуществляющий воинский учет, об изменении семейного положения, образования, места работы или должности, о переезде на новое место жительства, расположенное в пределах территории муниципального образования, или место пребывания -

влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере от ста до пятисот рублей.