Как ситуация обстоит сейчас, и насколько срочно мне нужно идти прикрепляться к военкомату?

При наличии у Вас военного билета отказать в выдаче заграничного паспорта на том основании, что Вы не прикреплены к военкомату не основано на законе.

Как отмечено в ст. 6 ФЗ  от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» отказ в его выдаче допустим только по основаниям, оговоренным в ст. 15 данного закона — http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_11376/5a4fdcdf4ce525c4221a12682fc98e6e3fc9e17a/

В их числе называется

2) в соответствии с законодательством Российской Федерации призван на военную службу или направлен на альтернативную гражданскую службу, — до окончания военной службы или альтернативной гражданской службы;

Однако на военную службу Вас никто не призывал, а соответственно не могут и отказать в его выдаче.

Поэтому требуйте письменный отказ в выдаче загранпаспорта, который Вы вправе обжаловать, в том числе и путем обращения с административным иском в суд. 

Еще вопрос касательно поправок в текущее законодательство. Раньше был штраф за то что вовремя не встал но военский учет, от 500-3000р., как ситуация обстоит сейчас, и насколько срочно мне нужно идти прикрепляться к военкомату?

 Сумма штрафа за то, что Вы не состоите на воинском учете не изменилась — она также составляет от 500 до 3000 р.