Подали иск в суд о возмещении морального вреда, как доказать, чем мотивировать?

Согласно положений Гражданского кодекса РФ, под моральным вредом понимаются те или иные физические и нравственные страдания человека. Вот наличие таких страданий и следует подробно и аргументированно обосновывать в исковом заявлении и в выступлении в судебном заседании.

ГК РФ. Статья 151. Компенсация морального вреда
 
Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.
(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 142-ФЗ)
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.

Как конкретно делать обоснование — могу подсказать в рамках дополнительной (платной) консультации + для этого будет необходимо обсудить все фактические обстоятельства происшествия и на основе этих фактических обстоятельств строить аргументацию исковых требований. Формулы расчёта размера компенсации в действующем законодательстве не предусмотрено, этот размер  определяется полностью по усмотрению суда — в зависимости от того, как сам истец аргументирует и обосновывает свои требования...