Как можно доказать отцовство, и отдать ребенка на попечительство отцу

Здравствуйте, Варвара!
В соответствии с п.2 ст. 51 СК РФ:

Если родители не состоят в браке между собой, запись о матери ребенка производится по заявлению матери, а запись об отце ребенка — по совместному заявлению отца и матери ребенка, или по заявлению отца ребенка (пункт 3 статьи 48 настоящего Кодекса), или отец записывается согласно решению суда.

Следовательно, Вам необходимо совместно с мужем подать заявление в ЗАГС, для записи его в качестве отца.
Далее, место проживания ребенка, в случае, если родители проживают раздельно, устанавливается соглашением родителей (п.3 ст.65 СК РФ).