Здравствуйте!
Местом жительства несовершеннолетних граждан, не достигших возраста 14 лет, признается место жительства их законных представителей: родителей, усыновителей или опекунов (ст. 20 Гражданского кодекса РФ). При этом мест жительства — это место постоянной регистрации (того, что по советской традиции продолжают называть «пропиской», хотя прописка отменена была еще в 1993 году). Соответственно ребенок в возратсе до 14 лет может миеть постоянную регистрацию только с одним из своих законных представителей. В вашем случае — с матерью. Если не перерегистрировать ребена к себе или себя к ребенку, то могут возникнуть вопросы у органов опеки и попечительства, а также и у миграционной службы.