Использование материнского капитала при оплате приобретения жилья предполагает выделение всем членам семьи (обоим супругам и всем детям) доли в приобретаемом имуществе. Ведь маткапитал выделяется государством именно при этом условии. Самостоятельно решить иначе и распределить доли как-то по-другому (в рамках стоимости приобретаемого объекта, равной размеру маткапитала) получатели маткапитала не вправе.
Если это так и сделано, и стоимость дома была равна размеру маткапитала, то на семью из 4 человек будет по 1/4 доле у каждого. Права детей защищены тем, что им выделены их доли. Далее судьбу каждой доли собственник определяет самостоятельно (с учетом прав других собственников — например, права выкупа).
Соответственно, при разводе бывший супруг оставляет себе ту долю в праве, которая была оформлена на него при покупке дома с использованием маткапитала (это имущество при разводе не делится, поскольку уже было разделено изначально).
Он вправе предложить выкупить его долю остальным собственникам. Конечно, может ее и подарить и обменять, и совершить любую иную законную сделку.
Защита прав детей, соответственно, не может заключаться в изъятии доли бывшего мужа у него — поскольку у детей нет права на эту долю (кроме как потом при наследовании). Защита может заключаться в сохранении прежнего места проживания и привычного уклада жизни детей, в том числе в материальном смысле.
Поскольку вы хотите не переезжать, оставить весь дом в своем пользовании, но с другой стороны, не считаете приемлемыми те варианты, которые предложил бывший муж, то, как правильно вам предложили, можете договориться с бывшим супругом, и не менять оформление права собственности, а только лишь заключить соглашение о пользовании имуществом (например, пусть там будет указано, что вы с детьми имеете право пользоваться всем домом, без какой-либо оплаты в пользу бывшего мужа).
Ну и да, остается вариант о передаче доли в счет алиментов.