Или надо сначала выписать из той квартиры, а потом только вписать?

 Добрый день, Дарья.

Если дедушка впишет ребёнка в свою квартиру, выписка из квартиры отца ребенка произойдёт автоматически?

 Да, в данном случае  орган регистрационного учета в трехдневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства ребенка для снятия его с регистрационного учета (пп. «а» п. 31 Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713).

Какие действия и документы нужны от родителей ребёнка, если они сами живут за рубежом и не могут приехать в Россию.

 Если ребенок старше 14 лет, то он может подать заявление самостоятельно. 

Здравствуйте!

Согласно действующего  законодательства РФ, место жительство несовершеннолетнего ребенка  признается место жительство его родителей или  опекуна ( законного представителя).

 П. 2. Статьи 20. ГК Место жительства гражданина

2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Таким образом  дети до 14- ти лет  должны быть зарегистрированы  по месту проживания родителей. Прописать отдельно от родителей  ребенка в дедушкину квартиру  нельзя А также  и выписать без родителей  тоже проблематично. 

Прописка и выписка  из квартиры  ребенка в добровольном порядке, возможно только с родителями . 

 .Единственный случай, когда не достигшего 14 лет, прописать ребенка отдельно от матери – это когда орган опеки выдает на это разрешение. 

В соответствии с п.3 ст.65 СК РФ

3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.

 
При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое).

См. статью по  следующей ссылке www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/a0ad3eae55e66a972e69d952db4a21a40b10d22a/

Если Вы  как родители  зарегистрированы   по разным адресах — то требуется согласие  родителей  на временную регистрацию ребенка.

Если  Вы не можете приехать в Россию, то возможно  оформить согласие нотариально. либо заверить данное официальное согласие в консульстве. и  далее  направить почтой.

Регистрацию можно осуществлять через паспортный стол ( отделение  МВД), а также через территориальный отдел МФЦ.