Так вот, как мне поступить в этой ситуации?

Здравствуйте. По закону Вы вправе расторгнуть договор жилого помещения как раз с предупреждением нанимателя за 3 месяца. Ст. 687 ГК РФ

1. Наниматель жилого помещения вправе с согласия других граждан, постоянно проживающих с ним, в любое время расторгнуть договор найма с письменным предупреждением наймодателя за три месяца.

Так вот, как мне поступить в этой ситуации? Имею ли я право требовать залог, если условия досрочного расторжения по пункту 5.3 мною соблюдены?

 лучше отталкиваться от закона, положении ГК РФ и известить за 3 месяца. Если бы в законе была фраза: «если иное не указано в договоре», то можно были бы варианты, я думаю, что лучше во избежание споров, судов и т.д., расторгнуть за 3 месяца.

Хотя я согласен в целом хитро конечно. Но надо отталкиваться от положении ГК РФ, а также помимо указанного Вами пункта на п. 3.13 договора. Если решите уведомлять арендодателя, то лучше заказным письмом с описью вложения.

Добрый день.

А есть подтверждение того, что Вы уведомили арендодателя о досрочном расторжении договора?

5.2. Изменение условий настоящего договора или его досрочное расторжение возможно только по письменному соглашению сторон. Такое соглашение должно быть составлено и подписано не
позднее чем за 3 (три) месяца до даты изменения или расторжения настоящего Договора.
5.3.При досрочном расторжении, либо отказе одной из сторон от продления настоящего договора,
первая сторона обязана известить вторую не менее чем за 1 (один) месяц.

И здесь стоит исходить из буквального толкования договора, с учетом разъяснений, приведенных в Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 25.12.2018 N 49 «О некоторых вопросах применения общих положений Гражданского кодекса Российской Федерации о заключении и толковании договора»

Условия договора подлежат толкованию таким образом, чтобы не позволить какой-либо стороне договора извлекать преимущество из ее незаконного или недобросовестного поведения (пункт 4 статьи 1 ГК РФ). Толкование договора не должно приводить к такому пониманию условия договора, которое стороны с очевидностью не могли иметь в виду.
Значение условия договора устанавливается путем сопоставления с другими условиями и смыслом договора в целом (абзац первый статьи 431 ГК РФ). Условия договора толкуются и рассматриваются судом в их системной связи и с учетом того, что они являются согласованными частями одного договора (системное толкование).

При таком подходе следует, что п. 5.3. Вас обязывает уведомить о досрочном расторжении договора, что в последующем предполагает заключение соглашения между сторонами о досрочном расторжении договора. 

Однако срок в данном случае, предполагается 3 месяца, ввиду того, что указанный договор на Вас также возлагает обязанность

3.13. Предупредить Владельца о досрочном расторжении настоящего договора не менее, чем за 3 (три)
месяца, в соответствии с разделом 5 настоящего Договора.

С учетом данных обстоятельств, а также принимая во внимание ст. 687 ГК РФ — Вы обязаны были предупредить владельца за три месяца до предполагаемой даты расторжения договора.