Скажите, пожалуйста, на основании какого НПА бюджетное учреждение имеет право указывать пункт в договоре подряда оплату в виде АВАНСА в наличной форме из кассы?

Анна, добрый день.
Наличные расчеты являются одной из форм расчетов, предусмотренных законом. 

Статья 861. ГК РФ Наличные и безналичные расчеты
2. Расчеты между юридическими лицами, а также расчеты с участием граждан, связанные с осуществлением ими предпринимательской деятельности, производятся в безналичном порядке. Расчеты между этими лицами могут производиться также наличными деньгами с учетом ограничений, установленных законом и принимаемыми в соответствии с ним банковскими правилами.
В соответствии с Указанием Банка России от 09.12.2019 N 5348-У «О правилах наличных расчетов»  

4. Наличные расчеты в валюте Российской Федерации и иностранной валюте между участниками наличных расчетов в рамках одного договора, заключенного между указанными лицами, могут производиться в размере, не превышающем 100 тысяч рублей

Здравствуйте, Анна.

Оплата наличными в рамках одного договора допускается не более 100 тыс. руб. согласно Указанию Банка России от 09.12.2019 N 5348-У «О правилах наличных расчетов».

Размеры авансирования для бюджетных учреждений ограничены и зависят от того, к какому уровню относится учреждение. Так, согласно постановлению Правительства РФ для получателей средств федерального бюджета установлено ограничение — не более 50 % для контрактов, не подлежащих казначейскому сопровождению.

Постановление Правительства РФ от 29.03.2022 N 505

2. Установить, что в 2022 году главные распорядители средств федерального бюджета как получатели средств федерального бюджета и подведомственные им получатели средств федерального бюджета (далее — получатели средств федерального бюджета) предусматривают в заключаемых ими договорах (государственных контрактах) на поставку товаров (выполнение работ, оказание услуг), средства на финансовое обеспечение которых:
подлежат в случаях, установленных в соответствии с бюджетным законодательством Российской Федерации, казначейскому сопровождению, — авансовые платежи в размере от 50 до 90 процентов суммы договора (государственного контракта), но не более лимитов бюджетных обязательств, доведенных до получателей средств федерального бюджета на указанные цели на соответствующий финансовый год;
не подлежат казначейскому сопровождению, — авансовые платежи в размере до 50 процентов суммы договора (государственного контракта), но не более лимитов бюджетных обязательств, доведенных до получателей средств федерального бюджета на указанные цели на соответствующий финансовый год.