Можно ли как-то повлиять на работодателя и написать заявление именно об отпуске с последующим увольнением?

Добрый день! Конечно, это Ваше право

Здравствуйте, Вы можете написать заявление об отпуске с последующим увольнением, в случае отказа обратитесь в трудовую инспекцию или в суд. Остались вопросы пишите в личку.

Отпуск с последующим увольнением предоставляют вне графика. Предоставление отпуска перед увольнением работнику — право, а не обязанность работодателя. В случае не согласия работодтеля  отпуск может быть не предоставлен. При этом вам должна быть выплачена коменсация за неиспользованные дни отпуска.

Работник может уволиться без отработки (в дату, указанную в заявлении), если у него есть уважительная причина или вы достигли соглашения с работодателем об этом.

Кроме этого, работодатель обязан уволить работника без отработки, если уполномоченным органом (например, государственной инспекцией труда) установлено, что работодатель нарушил нормативно правовые акты, содержащие нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий трудового или коллективного договора, соглашения (ч. 2, 3 ст. 80 ТК РФ).

Уважительными причинами увольнения без отработки считаются поступление работника в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи, когда работник по объективным причинам не может продолжать работу (ч. 3 ст. 80 ТК РФ, пп. «б» п. 22 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2).

Перечень причин, препятствующих продолжению работы, открытый. В каждом конкретном случае работодатель самостоятельно оценивает уважительность таких причин.
Сообщаю, что работника можно уволить  на больничном по собственному желанию или по соглашению сторон.
Дата увольнения по собственному желанию — через две недели со дня получения заявления или более поздняя дата, указанная работником. Заставлять работника отрабатывать две недели после больничного нельзя (Письмо Роструда от 05.09.2006 N 1551-6).