Что можно сделать в данной ситуации?

Он основывает иск на ч. 4 ст. 31 ЖК РФ?

В случае прекращения семейных отношений с собственником жилого помещения право пользования данным жилым помещением за бывшим членом семьи собственника этого жилого помещения не сохраняется, если иное не установлено соглашением между собственником и бывшим членом его семьи

В Вашем случае надо подавать возражения, в которых ссылаться на то что в силу указанной статьи

Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда.

и просить оставить право проживания на определенное время.

Если будет вынесено решение о выселении, то тогда следует обжаловать решение в месячный срок,

Так можно будет затянуть выселение минимум на три месяца.

А по вступлению в силу решения (если апелляционная жалоба не будет удовлетворена), то на основнаии ст. 203 ГПК РФ, просить суд об отсрочке

Суд, рассмотревший дело, по заявлениям лиц, участвующих в деле, судебного пристава-исполнителя исходя из имущественного положения сторон или других обстоятельстввправе отсрочить или рассрочить исполнение решения суда, изменить способ и порядок его исполнения.

Сделку недействительной вам вряд ли признают, потому что все сроки исковой давности по оспариванию уже закончились. Восстановить срок ваша мама не сможет, т.к. нужно будет доказать, что она не знала, что ее прописывают в приватизированную квартиру. А вот попробовать признать право бессрочного пользования можно, но я говорю это с осторожностью, потому что нужно продумывать линию защиты и 100% исход не гарантирован