Добрый день, Виктория! Согласно ст. 1175 Гражданского кодекса РФ, наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя солидарно, в пределах сумм перешедшего к ним имущества. Поэтому, после принятия вами наследства банк сможет предъявить вам претензии по возврату этого долга. Обратить взыскание на квартиру по этому иску у банка вряд ли получится, во-первых, по причине не соразмерности требований и стоимости имущества — сомневаюсь что 35 т. р превышают 5% от стоимости квартиры. Во-вторых, если квартира у вас это единственное жильё, то на него в этом случае так же не может быть обращено взыскание. Но банк сможет взыскать с вас задолженность из других источников — доходы, иное имущество. Что касается начисления штрафов, то в связи со смертью вашего мужа, как стороны кредитного договора, данный договор прекращает своё действие и начисление предусмотренных им штрафов не правомерно с момента смерти мужа. Вам надо представить в банк свидетельство о смерти.
Исходя из изложенного вам самой надо решить, что более отвечает вашим интересам — выплатить долг добровольно сейчас, либо дождаться момента вступления в право наследования и решать вопрос с долгом после этого.
Удачи вам!