Обязно ли было тсж выставить знак ограничения по высоте (3.13), если таковое имеется?

ТСЖ никакие знаки устанавливать не имеет право. 

Согласно закону монтирует и обслуживает данные знаки дирекция по организации дорожного движения.

Каждый дорожный знак должен располагаться согласно ГОСТу-23-457 79.

Если потребовалось установить его во время строительства объекта, то решение принимается Государственной административно-технической инспекцией. Работники ГИБДД должны лишь следить за их техническим состоянием, а также за правильностью их установки.

Монтируются дорожные знаки в соответствии со схемой дорожного движения. Согласовывается она со многими службами.

Необходимо отметить, что движение транспортных средств в жилых зонах и на дворовых территориях регулируется разделом 17 Правил дорожного движения Российской Федерации.

В соответствии с п. 1.5 Постановления Совета Министров — Правительства РФ от 23 октября 1993 г. N 1090 «О правилах ДД» запрещается самовольно устанавливать дорожные знаки и другие технические средства организации движения.
Согласно ст. 12.33 КоАП РФ повреждение дорог, железнодорожных переездов или других дорожных сооружений либо технических средств организации дорожного движения, которое создает угрозу безопасности дорожного движения, а равно умышленное создание помех в дорожном движении, в том числе путем загрязнения дорожного покрытия, — влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от пяти тысяч до десяти тысяч рублей; на должностных лиц — двадцати пяти тысяч рублей; на юридических лиц — трехсот тысяч рублей.
На основании изложенного Товарищество собственников жилья (ТСЖ)  не вправе самостоятельно размещать дорожные знаки на придомовой территории.