Добрый день!
Ваш вопрос, насколько я понимаю, в связи с правами на персонажи мультсериалов в первую очередь, а не с разрешением на использование изображения граждан (детей), но я на него тоже отвечу:
1) Разрешение на использование изображения детей (граждан), должно быть получено тем, кто планирует его использовать (видимо это сад на сайте, или иные лица). Если вы просто снимаете (за плату) — вам оно не нужно.
2) За использование в готовом произведении или продукте персонажей (равно как иных объектов авторских прав) действительно может нести ответственность любое лицо в «цепочке», но скорее всего подобные претензии возможны только к конечному пользователю (где и кто будет размещать готовые видео?). Кроме того, есть судебная практика актуальная, что в случае если подрядчик по поручению заказчика выполняет работы/оказывает услуги с использованием спорных объектов интеллектуальной собственности при прочих равных он может быть освобожден от ответственности.
Рекомендуется в договор с заказчиком добавлять положение о том, что заказчик несет ответственность за разрешения от правообладателей любых объектов интеллектуальной собственности, которые используются при проведении мероприятия, съемку которого вам поручено осуществлять. В случае предъявления вам третьими лицами претензий по поводу возможного нарушения прав на объекты интеллектуальной собственности — заказчик несет ответственность за их разрешение и обязан вам компенсировать любые ваши убытки в этой связи.
Да, эти компенсации в целом предполагаю и просто ГК РФ (регресс), но если в договоре будет прописан конкретный порядок, сроки и условия — это будет только на пользу.
Все остальные моменты могут быть детально разобраны только в рамках отдельной полноценной услуги в чате (кнопочка рядом с фото юриста, доступна при входе на сайт через браузер). Удачи вам.