Подскажите пожалуйста, брали в аренду кислородный аппарат, вчера его вернули, менеджер проверил и поставил

Татьяна здравствуйте.

Согласно представленного вами документа менеджер не поставил своей подписи в графе в которой указываются сведения о неисправностях. 

Т.е. возможно он уже заранее имел умысел предъявить вам претензию с целью личного обогащения. 

По общим правилам стребовать вас какие то денежные средства возможно только в судебном порядке. При этом на компанию возложена обязанность доказать: 1) что ущерб имеет место быть 2) что ущерб возник в следствии именно ваших действий. 

Полагаю, что  в вашем случае целесообразно написать письмо директору этой организации с требованием разобраться с менеджером который на мой взгляд пытается вымогать с вас деньги за несуществующую поломку.