Если да, то к кому обратиться по этому вопросу и в какие страны можно попасть?

Добрый день!

 Как правило, статус беженца из РФ оформляется после прибытия в другую страну по действующему в этой стране законодательству. При этом, необходимо будет представить доказательства, что вы лишились возможности продолжать жить в Российской Федерации и вынуждены ее покинуть, что Вы лишены возможности проживания и правовой защиты государства. 

В РФ действует Федеральный закон от 19.02.1993 N 4528-1 «О беженцах»

 Статья 3. Признание лица беженцем / КонсультантПлюс (consultant.ru)

С условиями признания гражданина беженцем Вы можете ознакомиться на сайтах посольств и консульств стран, в которые Вы намерены эмигрировать.

Полагаю, что без загранпаспорта осуществить Вашу идею не получится.