Имею ли я право обратиться в трудовую инспекцию по этому вопросу?

Здравствуйте. Дорогая Эльвира, вы, наверно, еще очень молоды и не сталкивались с системой на практике). К сожалению, да, порой долго оформляются документы — я в одном учреждении ожидала полгода подписания трудового договора. Я не скажу, что это нормально, но так в жизни случается на практике.

Конечно, на госслужбу распространяются и нормы Трудового кодекса. Согласно им (ст. 67 ТК РФ), обычно трудовой договор (в вашем случае — служебный контракт) подписывается не позднее трех рабочих дней с момента фактического начала работы. Но вот что я скажу.

Вы пришли сюда работать и выиграли конкурс — эти документы (о выборе победителя по итогам конкурса) оформлены официально и ваше назначение подтверждают. На мой взгляд если будете жаловаться — наживете недовольство со стороны 1) вышестоящих начальников, 2) ваших коллег по отделу 3) работников отдела кадров. 

Не нужно начинать трудовую деятельность с обострения отношений — как человек с более чем 18летним стажем работы я вам это советую. Это не говорит о том, что нужно терпеть всё, нет — но нужно относится с пониманием к отдельно взятым обстоятельствам)). Со служебным контрактом, действительно, могут быть задержки, если он проходит согласование по отделам или присылается из более вышестоящей госорганизации, расположенной в другом месте/городе. Приказ вами подписан — всё, вы официально трудоустроены. Заработную плату вам выплатят с момента начала работы.

Плохо, что нет должностной инструкции, но, полагаю, что она может еще и не существовать, и ее конкретно для вашей должности еще разрабатывают. Вопрос по должностной уточнить лучше у своего начальника — разрабатывать ее должен для вас он вместе, кстати, с юристами. И отделом кадров. Можете так прямо и сказать: я не понимаю, что относится к моим обязанностям, что я должна делать, а что — нет. 

Что касается рабочего места — вот тут прямая обязанность вашего начальника вам его обеспечить (не таскать для вас столы, компьютеры и стулья, конечно, а организовать других сотрудников других подразделений через их начальство и сам процесс так, чтобы у вас рабочее место появилось). Поговорите с ней доброжелательно, поясните, что после выхода коллеги с больничного у вас не будет рабочего места и вы не понимаете, где вам разместиться. Это организационные вопросы, которые вполне разрешаемы, без привлечения трудовой инспекции). И, если начальник специфичен и не помогает организовать процесс, то спросите к кому вам в таком случае обращаться и скажите, что если она не поможет, то попросту обратитесь к её вышестоящему начальнику. Думаю, это поможет (хотя тоже немного на грани «конфликта» вариант — в зависимости от характера начальника действуйте, по обстоятельствам).

Об обязанностях обеспечения работника рабочим местом говорят ст. 21,22 ТК РФ:

Статья 21. Основные права и обязанности работника
Работник имеет право на:
заключение, изменение и расторжение трудового договора в порядке и на условиях, которые установлены настоящим Кодексом, иными федеральными законами;
предоставление ему работы, обусловленной трудовым договором;
рабочее место, соответствующее государственным нормативным требованиям охраны труда и условиям, предусмотренным коллективным договором;

Статья 22. Основные права и обязанности работодателя

Работодатель обязан:
соблюдать трудовое законодательство и иные нормативные правовые акты, содержащие нормы трудового права, локальные нормативные акты, условия коллективного договора, соглашений и трудовых договоров;
предоставлять работникам работу, обусловленную трудовым договором;
обеспечивать безопасность и условия труда, соответствующие государственным нормативным требованиям охраны труда;
обеспечивать работников оборудованием, инструментами, технической документацией и иными средствами, необходимыми для исполнения ими трудовых обязанностей;

Так что в ГИТ вы, конечно, можете жаловаться, но я бы для начала пыталась решить вопрос на месте, с пониманием и доброжелательно — вам тут еще работать. Всего доброго!