Она уехала 4 года назад оставив детей ему и практически не давала о себе знать до прошлого года

Здравствуйте. Можете подать максимум иск о компенсации морального вреда и всё. Формально она закон не нарушает. ст. 151 ГК РФ

Если гражданину причинен моральный вред  (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

Но вопрос опять же в чём у Вас моральный вред вообще и в чём он выражается. Формально, повторюсь, она закон не нарушает, это также её право. 

Здравствуйте!

Двое ее несовершенолетних детей проживают с нами. Она уехала 4 года назад оставив детей ему и практически не давала о себе знать до прошлого года. Иногда позванивала детям.

 А вариант лишения ее родительских прав рассматриваете?

СК РФ Статья 70. Порядок лишения родительских прав
 

Дела о лишении родительских прав рассматриваются по заявлению одного из родителей или лиц, их заменяющих, заявлению прокурора, а также по заявлениям органов или организаций, на которые возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей (органов опеки и попечительства, комиссий по делам несовершеннолетних, организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, и других).

Или взыскания с нее алиментов. 

На мой взгляд надо начать с взыскания с нее алиментов на содержание детей. Может это на нее подействует.

Здравствуйте! Как вариант можно подать иск в суд о защите чести, достоинстве и деловой репутации. На основании ст. 152 ГК РФ ч.9.

9.Гражданин, в отношении которого распространены сведения, порочащие его честь, достоинство или деловую репутацию, наряду с опровержением таких сведений или опубликованием своего ответа вправе требовать возмещения убытков и компенсации морального вреда, причиненных распространением таких сведений. Требования могут быть удовлетворены лишь в случае, если при рассмотрении дела суд установит, что обращение в указанные органы не имело под собой никаких оснований и продиктовано не намерением исполнить свой гражданский долг или защитить права и охраняемые законом интересы, а исключительно намерением причинить вред другому лицу, то есть имело место злоупотребление правом данное Конституцией РФ.

Статьей 33 Конституции Российской Федерации закреплено право граждан направлять личные обращения в государственные органы и органы местного самоуправления, которые в пределах своей компетенции обязаны рассматривать эти обращения, принимать по ним решения и давать мотивированный ответ в установленный законом срок.

Поэтому возможно следует обратиться в суд, и женщина задумается и прекратит писать заявление, жалобы на Вашу семью. Но должна предупредить, что споры о защите, чести, достоинстве, требуют конкретных доказательств и оснований. Есть постановление от 24 февраля 2005 г. N 3 Верховного суда РФ

О СУДЕБНОЙ ПРАКТИКЕ ПО ДЕЛАМ

О ЗАЩИТЕ ЧЕСТИ И ДОСТОИНСТВА ГРАЖДАН,

А ТАКЖЕ ДЕЛОВОЙ РЕПУТАЦИИ ГРАЖДАН

И ЮРИДИЧЕСКИХ ЛИЦ на которое можно опираться при обращении в суд

Здравствуйте.

Оскорбления можете запись на тел и в последующем использовать запись для привлечения женщины к административной  ответственности. 

ст 5.61 КОАП

1. Оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной или иной противоречащей общепринятым нормам морали и нравственности форме, —

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей; на должностных лиц — от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей; на юридических лиц — от ста тысяч до двухсот тысяч рублей.

Но насколько я правильно понял из содержания вашего вопроса, женщина скорее заинтересована детьми нежили бывшим супругом. 

Предполагаю, что место жительство ребенка не определён в судебном порядке. В связи с этим рекомендую подать иск об определении места жительства детей с отцом, также требование   о взыскании алиментов. 

Про лишении родительских прав как указывают коллеги не все так просто. Вообще процедура лишения род прав считается исключительной и применяется только в тех случаях когда проживание ребенка с родителем невозможно. 

В своем вопросе вы указали, что мать обращалась в опеку, чтобы они проверили условие проживание ребенка. Этот факт она может использовать в суде, заявить что интересовалась детьми, уехала по уважительной причине, от детей не отказывается, готова их воспитать.

Если  хоть некоторые из этих обстоятельств она докажет, ее не лишать род прав. 

Таким образом считаю, что в первую очередь необходимо взыскать алименты и определить место жительство ребенка. На оскорбление как я указывал выше обратиться к участковому, предъявить запись оскорблений, подключить свидетелей. Уверен после привлечении к административной ответственности, женщина не будет вас досаждать. 

Вот если она не будет уплачивать алименты, у вас уже будет подтверждённое основание для лишения родительских прав. 

Ст. 69 СК

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов; 

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 14.11.2017 N 44 «О практике применения судами законодательства при разрешении споров, связанных с защитой прав и законных интересов ребенка при непосредственной угрозе его жизни или здоровью, а также при ограничении или лишении родительских прав»

О злостном характере уклонения от уплаты алиментов могут свидетельствовать, например, наличие задолженности по алиментам, образовавшейся по вине плательщика алиментов, уплачиваемых им на основании нотариально удостоверенного соглашения об уплате алиментов или судебного постановления о взыскании алиментов;