После того, как пройдет суд по оспариванию отцовства, по решению суда, я могу сразу поменять отчество ребенка в органах ЗАГС или только через месяц, после того, как решение суда вступит в силу?

Здравствуйте. 

Поменять его можно будет после вступления решения в законную силу — есть шанс, что ответчик подаст апелляцию. 

ГПК РФ Статья 209. Вступление в законную силу решений суда
1. Решения суда вступают в законную силу по истечении срока на апелляционное обжалование, если они не были обжалованы.

 
В случае подачи апелляционной жалобы решение суда вступает в законную силу после рассмотрения судом этой жалобы, если обжалуемое решение суда не отменено. Если определением суда апелляционной инстанции отменено или изменено решение суда первой инстанции и принято новое решение, оно вступает в законную силу немедленно.