Скажите есть ли надежда подать в суд на демонтаж этого козырька?

Для начала в целях выяснения существенных обстоятельств (легальности устройства козырька) советую обратиться с запросами в следующие организации:

— в Управляющей компании запросить информацию относительно самого нежилого помещения под Вашей квартирой (имеет ли оно статус нежилого), а также какие документы имеются у собственника на проведение работ по устройству козырька.

— Аналогичный запрос имеет смысл подать в отдел градостроительства и архитектуры местной Администрации по местонахождению многоквартирного дома как в уполномоченный орган, выдающий разрешение на проведение реконструкции.

— В целях выяснения легальности или нелегальности возведения козырька целесообразно также обратиться с заявлением в Жилищную инспекцию и запросить провести проверку законности устройства козырька. 

Устройство козырька требует предварительного согласования, должен быть проект на выполнение данных работ. 

Учитывая, что внешние стены дома относятся к общему имуществу в соответствии со ст. 36 ЖК РФ, на проведение работ по устройству козырька требуется получение также согласия собственников помещений в доме путем проведения общего собрания. 

Информацию о том, проводилось ли на данную тему общее собрание, можно узнать в Управляющей компании.

Даже если по информации от гос.органов будет выяснено, что козырек устанавливается в соответствии с утвержденным проектом, Вы как собственник квартиры вправе будете подать иск к собственнику нежилого помещения в порядке ст. 12 и ст. 304 ГК РФ.

Согласно ст. 12 ГК РФ 

защита гражданских прав осуществляется путем, в том числе, восстановления положения, существовавшего до нарушения права, и пресечения действий, нарушающих право или создающих угрозу его нарушения.

Ст. 304 ГК РФ предусматривает, что 

Собственник может требовать устранения всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения и не были соединены с лишением владения.

В пункте 46 постановления Пленума Верховного Суда РФ и Пленума Высшего Арбитражного Суда РФ от 29 апреля 2010 года N 10/22 «О некоторых вопросах, возникающих в судебной практике при разрешении споров, связанных с защитой права собственности и других вещных прав» разъяснено, что

при рассмотрении исков об устранении нарушений права, не связанных с лишением владения, путем возведения ответчиком здания, строения, сооружения суд устанавливает факт соблюдения градостроительных и строительных норм и правил при строительстве соответствующего объекта. Несоблюдение, в том числе незначительное, градостроительных и строительных норм и правил при строительстве может являться основанием для удовлетворения заявленного иска, если при этом нарушается право собственности или законное владение истца.

В обоснование своих требований можно также ссылаться на следующие положения нормативно-правовых актов:

Согласно п. 3.5.8 Правил и норм технической эксплуатации жилищного фонда, утв. Постановлением Госстроя РФ N 170 от 27.09.2003 г.,

крепление к стенам зданий различных растяжек, подвесок, вывесок, указателей (флагштоков и других устройств), установка кондиционеров и спутниковых антенн без соответствующего разрешения, недопустимы.

В силу п. 1.7.2 указанных Правил

переоборудование и перепланировка жилых домов, ведущие к нарушению прочности или разрушению несущих конструкций здания, ухудшению сохранности и внешнего вида фасадов не допускается.

Положительное решение суда по аналогичному спору между собственником квартиры и собственником ниже расположенного нежилого помещения с требованием устранить нарушения прав собственника и демонтировать козырек, установленный без соответствующей разрешительной документации и проекта -- Решение Ленинского районного суда г. Владимира от 28.06.2013 г. по делу № 2-1829/2012  28 июня 2013 г.