Здравствуйте, Елена!
Согласно п. 11 Письма Федеральной службы по труду и занятости от 13.07.2021 №1811-ТЗ, работодатель вправе потребовать от работника предоставления медицинских документов в подтверждение наличия противопоказаний к вакцинации от COVID-19. При этом указано, что подтверждающим документов является медицинское заключение.
Никаких отметок о том, государственное учреждение должно его выдать или частное, там не содержится.
Отмечу, что в соответствии с п. 6 Приказа Министерства здравоохранения РФ от 14.09.2020 №972н, медицинское заключение должно иметь подпись врача и быть заверенным личной печатью врача и печатью медицинской организации, позволяющей идентифицировать полное наименование медицинской организации.