Основания для прописки в служебное жилое помещение сына

Здравствуйте, Оксана! 

Вы не конкретизировали возраст сына. Это имеет большое значение. 

В соответствии со ст. 20 Гражданского кодекса РФ местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.
Таким образом, если Ваш сын младше 14 лет, то его зарегистрировать обязаны вместе с родителями в одной квартире. 

В любом случае, в случае отказа, просите его в письменном виде, чтобы обжаловать в суде.