Обязана ли я, как арендатор, строить новый забор, если старый пришел в негодность и через него заходят коровы на соседние участки, где у людей посажены огороды?

Доброе утро!
В соответствии с действующим законодательством на Арендаторе имущества лежит обязанность по проведению текущего ремонта имущества, а на Арендодателе — капитального, если иное не предусмотрено условиями действующего договора.
Строительство нового забора не подпадает под понятие «текущий ремонт», значит делать этого вы не должны.
По договоренности  с собственником вы можете построить забор, например, в счет арендной платы.
Также следует отметить, что за ущерб, который нанесут коровы соседним огородам, несут ответственность собственники коров. 
Если у вас остались вопросы или вы нуждаетесь в дополнительном правовом сопровождении, обращайтесь.

С уважением, Валерия.