Обязаны ли мы делать это на конкурсной основе, аукцион, тендер

В данном случае Ваше учреждение заключает договор на оказание услуги  по очистке извлеченных драгоценных металлов от примесей и сопутствующих химических элементов с доведением содержания драгоценного металла до качества, соответствующего нормам законодательства Российской Федерации. То есть Вами должен быть составлен договор оказания услуг на основании ст.779 ГК РФ и возможно на основании п.4 ст.93 Федерального закона № 44-ФЗ. Требования к содержанию договора указаны в п.3 Постановления Правительства РФ от 17 августа 1998 г. N 972.

Согласно Постановления Правительства РФ от 17 августа 1998 г. N 972 «Об утверждении Порядка работы организаций, осуществляющих аффинаж драгоценных металлов, и перечня организаций, имеющих право осуществлять аффинаж драгоценных металлов»

2. Аффинажные организации оказывают услуги по очистке извлеченных драгоценных металлов от примесей и сопутствующих химических элементов с доведением содержания драгоценного металла до качества, соответствующего нормам законодательства Российской Федерации.  3. Аффинажная организация и собственник минерального и (или) вторичного сырья драгоценных металлов (далее — сырье) заключают договор, в котором в обязательном порядке предусматриваются: предельно допустимые концентрации вредных веществ в сырье, подлежащем аффинажу;
опись продукции каждой партии сырья, подлежащего аффинажу;
порядок комиссионного приема подлежащего аффинажу сырья, включая контрольное опробование;
сроки выдачи и номенклатура готовой продукции с указанием нормативно-технических документов, в соответствии с которыми произведена готовая продукция;
нормативы возвратных и кондиционных отходов драгоценных металлов, полученных в результате аффинажа;  реквизиты получателей аффинированных драгоценных металлов;
сведения о наличии у собственника сырья обязательств по поставкам драгоценных металлов в Государственный фонд драгоценных металлов и драгоценных камней Российской Федерации или государственные фонды драгоценных металлов и драгоценных камней субъектов Российской Федерации;
меры ответственности сторон за нарушение условий договора;
порядок урегулирования разногласий.

От двух получили ответ, что они готовы у нас приобрести лом драгоценных металлов на основании Договора купли- продажи. Мы как бюджетное учреждение можем заключать договор купли- продажи? И на какой закон при этом ссылаться?

В данной ситуации, если речь идет об аффинаже драгоценных металлов, считаюю. что договор купли-продажи (ст.454 ГК РФ) заключать Вами неправильно. Речь идет о возмездном оказании услуги, а не продаже лома драгоценных металлов.