Получу уведомление на увольнение, а 23.08., в день выхода после отпуска, меня не допустят к работе, тк на эту дату у меня не будет двух прививок

Татьяна, увольнение по этому основанию незаконно, Вы его вправе оспорить в суде.

Причем надо обратиться в месячный срок со дня получения на руки приказа об увольнении или трудовой книжки. (ст 392 ТК РФ)
Приказ об увольнении нужно получить, но обязательно указать там дату получения.
При этом ни в коем случае нельзя подписывать, например, заявление об увольнении и другие такого рода документы ни задним числом ни каким-то еще, потому что этим подписанием Вы свое увольнение «узаконите».
В суде можно оспорить как само по себе увольнение, так и потребовать зарплату до момента увольнения, а кроме того, компенсации за незаконное увольнение, равную Вашей зарплате за весь период, пока рассматривается дело судом, а также моральный вред.
Ответ «Вы можете обратиться в суд» предполагает необходимость грамотного обращения в суд: составления иска в соответствии с нормами ст.ст. 131-132 ГПК РФ, по нужным в Вашей ситуации правовым основаниям, доказывания своей позиции (ст.ст. 55-57 ГПК РФ) и т.д.
Обратитесь к одному из ответивших Вам юристов за грамотным ведением дела в суде. Обычно, кто отвечает на вопросы, тот и работает по тем же делам. Расходы на юриста можно будет (в случае успеха по делу) взыскать в порядке ст.ст. 98, 100 ГПК РФ с работодателя.
Что же касается других органов (трудовая инспекция, прокуратура), туда тоже можно обратиться, но параллельно (одновременно) с обращением в суд.
Обращение в другие органы не параллельно, а последовательно с обращением в суд (т.е. сначала в другие, потом ожидание ответа от них, потом в суд) на практике почти всегда приводит к пропуску срока обращения в суд, 1 мес., так как те органы «отписываются» по сроку больше месяца (с учетом того что ответ идет почтой).
Таким образом, при неправильной последовательности действий Вы потеряете возможность отстоять свои права в суде.