Имеют ли право поставить камеры в туалете во время сдачи ЕГЭ в 2021 году организаторы или сама школа?

Добрый день!
Нет, не может.

В соответствии со ст. 21 ч. 1 Конституции РФ достоинство личности охраняется государством, ничто не может быть основанием для её умаления. 

Рособрнадзор также издал методические рекомендации по видеонаблюдению во время ЕГЭ в 2021 году (Приложение 13 к <Письмо> Рособрнадзора от 12.04.2021 N 10-99 <О направлении методических документов, рекомендуемых при организации и проведении государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего и среднего общего образования в 2021 году>). Этими методическими рекомендациями видеонаблюдение в туалетах не предусмотрено и со всей очевидностью. Полная цитата документа в релевантной части:

Объектами видеонаблюдения являются:
помещения для проведения экзаменов в ППЭ (аудитории ППЭ);
Штаб ППЭ;
помещения РЦОИ, задействованные в процедурах подготовки, проведения экзаменов и обработки его результатов, помещения для работы ПК и КК;
по решению ОИВ средствами видеонаблюдения могут быть оснащены коридоры в ППЭ, а также вход в ППЭ, обозначенный стационарным металлоискателем. В случае использования переносных металлоискателей входом в ППЭ является место проведения уполномоченными лицами работ с использованием указанных металлоискателей.

(ППЭ — пункт проведения экзамена, РЦОИ — региональный центр обработки информации, ОИВ — орган исполнительной власти субъекта РФ, ПК  — предметная комиссия, КК — конфликтная комиссия).

На сайте регионального центра обработки информации Москвы есть информация о требованиях к видеонаблюдению (http://rcoi.mcko.ru/resources/...), там также не предусмотрено видеонаблюдение в туалетах. 

Нет не имеют право. Туалет является общественным местом. Достоинство личности охраняется государством, не допускается ее унижение.