Может ли экспертиза доказать что бумага подписана намного раньше даты указанной в договоре?

Да, можно просить суд экспертизу давности написания документа. Но часто бывают заключения, что не удалось установить. 

Возражая против удовлетворения исковых требований, фио указала на то, что подпись в расписке от дата не принадлежит фио, текст расписки выполнен не фио, кроме того, фио поставила под сомнение написание одновременно текста расписки и подписи в конце расписки, давность написания расписки.
По ходатайству стороны ответчицы судом первой инстанции была назначена судебная физико-химическая и посмертная почерковедческая экспертиза, проведение которой было поручено наименование организации.
Согласно заключения экспертов наименование организации, подпись, выполненная от имени фио в расписке от дата, выполнена ранее дата, что составляет более двух лет от даты начала исследования, поэтому установить соответствие даты фактического выполнения данной подписи дате дата не представляется возможным; рукописный текст от имени фио в расписке от дата нанесен не ранее дата и не позднее дата, что не соответствует дате дата, указанной в данном документе; рукописный текст и подпись, выполненные от имени фио в расписке от дата, составленной от имени фио, выполнены рукописным способом пишущими узлами шариковых ручек пастами черного и синего цветов, в свободном исполнении, без использования специальных копирующих технических средств и приемов, а также без применения технических средств и методов, таких как подчистка, травление, искусственное старение и т.п.; в расписке от дата, составленной от имени фио на одном листе, не имеется признаков возможного агрессивного воздействия (искусственного старения) на документ (в том числе на его рукописные реквизиты и на бумагу); подпись от имени фио в расписке от дата, начинающейся словами «Дана фио...» и заканчивающейся "… сумма (тридцать две тысячи 500) долларов США на два года", выполнена не фио, а иным лицом.