Екатерина!
Полагаю, что определённые основания для этого у службы занятости есть. Прекращение выплаты пособия по безработице возможно согласно правилам такого закона:
19 апреля 1991 года N 1032-1 «О занятости населения в РФ».
Одним из оснований является признание гражданина занятым, а для точного установления данного факта и даты изменения статуса гражданина действительно нужна копия соответствующего документа.
Если Вам необходима дополнительная консультация либо помощь в составлении письменных документов, можете обратиться в мой чат, по правилам сайта услуги в чате платные.
Всего доброго!