Можно ли эксплуатировать купленное ТС, если ближайшее время записи в МРЭО превышает 10 дней с момента покупки?

Добрый вечер.

Вы можете эксплуатировать ТС только в течение 10 дней после его покупки. В указанный срок вы в силу ст. 8 ФЗ от 03.08.2018 N 283-ФЗ«О государственной регистрации транспортных средств в Российской Федерации и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации» обязаны поставить его на учёт. 

По истечении указанного срока предполагается ответственность за управление тс не стоящем на учёте по ст. 12.1 Коап РФ

1. Управление транспортным средством, не зарегистрированным в установленном порядке, — влечет наложение административного штрафа в размере от пятисот до восьмисот рублей.

А также по ст. 19. 22 коап РФ.

1. Нарушение правил государственной регистрации транспортных средств всех видов (за исключением строящихся судов, морских судов, судов смешанного (река — море) плавания, судов внутреннего плавания, включая маломерные суда), механизмов и установок в случае, если регистрация обязательна, —

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч рублей; на должностных лиц — от двух тысяч до трех тысяч пятисот рублей; на юридических лиц — от пяти тысяч до десяти тысяч рублей.

И тут не имеет никакого значения,  что заявление вами было подано но регистрация не состоялась. 

добрый вечер. Увы, но нельзя. 

ст.12.1 КоАП РФ Управление транспортным средством, не зарегистрированным в установленном порядке, транспортным средством, не прошедшим государственного технического осмотра или технического осмотра

1. Управление транспортным средством, не зарегистрированным в установленном порядке, — влечет наложение административного штрафа в размере от пятисот до восьмисот рублей.
(в ред. Федеральных законов от 05.04.2010 N 47-ФЗ, от 23.07.2013 N 196-ФЗ)

1.1. Повторное совершение административного правонарушения, предусмотренного частью 1 настоящей статьи, —

влечет наложение административного штрафа в размере пяти тысяч рублей или лишение права управления транспортными средствами на срок от одного до трех месяцев.

     Следовательно нет исключений из правил. К сожалению, административная ответственность наступит не зависимо от оснований, по которым Вы не зарегистрировали авто в срок. 

     Единственное, это  Вы при постановке на учет избежите ответственности по ст. 19.22 КоАП РФ за несвоевременную регистрацию автомобиля. Такие реалии наших законов. Удачи Вам!