Не имеет значения, кто поставщик, имеет значение, кто владелец данного товарного знака или коммерческого обозначения, если ТЗ не зарегистрирован. Если поставщик является и производителем, то ТЗ скорее всего принадлежит ему. Если же поставщик производителем не является, не факт, что у самого поставщика есть право использовать указанного обозначение. Может быть именно поэтому он и дал разрешение "на словах", а не заключил с вами лицензионный договор, как полагается.
Если же исключительные права у него, то заключите лицензионный договор и ваша конкурентка уже не сможет предъявить к вам такие претензии.
Если коммерческое обозначение не зарегистрировано как ТЗ и не является фирменным наименованием, то вопрос приоритетности прав на него - спорный.
Скорее всего владелица второго магазина так же нарушает исключительные права владельца ТЗ (если ТЗ зарегистрирован), как и вы. Если же ТЗ не зарегистрирован, и это коммерческое обозначение она начала использовать в вашем регионе первой, приоритет у нее, но пока этот приоритет - неподтвержденный.
Если данный ТЗ по услугам розничной продажи не зарегистрирован, вы можете попробовать зарегистрировать его на себя. Тогда уже не конкурентка к вам, а вы к ней сможете предъявить претензии. Причем не устные, а в суде.
===========
Если ответ юриста помог Вам сориентировать в проблеме, вы можете оценить его, оставив положительный отзыв.
