Анна, добрый день!
Можно попытаться оспорить действия Работодателя, но только в том случае, если а) у Вас есть доказательства принятия Вашим начальником заявления об увольнении (если Вы именно так сформулировали Ваше заявление для начальника); б) Ваши семейные обстоятельства согласно закону можно признать уважительной причиной (например, тяжелое заболевание и т.п.). Если же Вами был написан текст, в котором Вы просите не уволить Вас, а лишь сообщаете о невозможности выхода на работу, не можете приехать и не детализируете причину с её доказательствами, то могу предположить, что Вас уволили по статье за прогул. Такое увольнение любой суд посчитает правомерным.
Для подробной консультации уточните, пожалуйста, нюансы Вашего ухода с работы. Из Ваших пояснений не ясно, как Вы трудоустраивались у другого Работодателя, будучи оформленной на предыдущем месте работы. У Вас на руках была трудовая книжка?