Она сказала, что прощает и как бы всё, но сегодня начинает нам опять писать бесконечно, что мы виноваты в том

Добрый день. Полагаю, что Вам надо договариваться каким то оразом, так как ответственность за вред причиненный ребенком несете Вы, поскольку он уже вышел за пределы школы

В силу ст. 1073 ГК РФ

ГК РФ Статья 1073. Ответственность за вред, причиненный несовершеннолетними в возрасте до четырнадцати лет
 

1. За вред, причиненный несовершеннолетним, не достигшим четырнадцати лет (малолетним), отвечают его родители (усыновители) или опекуны, если не докажут, что вред возник не по их вине.

При этом, родителя второго ребенка имеют право и на возмещение морального вреда и расходов на лечение.

В силу ст. 1085 ГК РФ

. При причинении гражданину увечья или ином повреждении его здоровья возмещению подлежит утраченный потерпевшим заработок (доход), который он имел либо определенно мог иметь, а также дополнительно понесенные расходы, вызванные повреждением здоровья, в том числе расходы на лечение, дополнительное питание, приобретение лекарств, протезирование, посторонний уход, санаторно-курортное лечение, приобретение специальных транспортных средств, подготовку к другой профессии, если установлено, что потерпевший нуждается в этих видах помощи и ухода и не имеет права на их бесплатное получение

На профилактический учет Вашего ребенка не поставят, так как нет отснвоаний, но вред придется возмещать, если Вы не отрицаете что вред причинил Ваш сын

Здравствуйте Татьяна.

Но находильсь они на территории школы, учителя ничего не предприняли. И как с ней договариваться, если она говорит одно, а делает другое, платить бесконечно? письменно как закрепить это?

Начать следует с того, кто и  в каком порядке вообще установил то что вред был причинен Вашим ребенком.

Если это территория школы, как Вы утверждаете, то школа была обязана провести соответствующее расследование и по его результатам установить несчастный случай и все обстоятельства в том числе причинителя вреда, либо наоборот опровергнуть или оформить отсутствие оснований указывающих на то, что вред был причинен именно Вашим ребенком.

Т.е. все должно быть оформлено в первую очередь юридически и документально.

Порядок регулируется положениями Приказа Министерства образования и науки РФ  от 27 июня 2017 года N 602 «Об утверждении Порядка расследования и учета несчастных случаев с обучающимися во время пребывания в организации, осуществляющей образовательную деятельность», из положений которого следует что:

1. Настоящий Порядок расследования и учета несчастных случаев с обучающимися во время пребывания в организации, осуществляющей образовательную деятельность (далее — Порядок), устанавливает правила проведения расследования, оформления и учета несчастных случаев, происшедших с обучающимися, во время пребывания в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, в результате которых обучающимися были получены повреждение здоровья (телесные повреждения (травмы), в том числе нанесенные другим лицом;....

http://docs.cntd.ru/document/4...

Если ничего не было установлено соответствующим образом, почему Вы сразу принимаете как факт то, что именно Ваш сын причинил вред,  и именно Вы обязаны чего — то возмещать. Требуйте проведения проверки, а если нет оснований подтверждающих причинение вреда Вашим сыном, то Вы в принципе никому ничего не должны  в таком случае.

Это скорее проблема той стороны,  ребенку которой был причинен вред, т.е.  доказать это.

Здесь они должны доказать в общем, в установленном законом порядке, что вред причинил именно Ваш ребенок, а на словах они могут утверждать что угодно, это не является законным основанием.