Имеют ли право мфц отказать прописывать ребёнка со мной в новую квартиру?

Здравствуйте, Ольга!

Отказать не должны т.к. в соответствии с Приказом МВД России от 31.12.2017 N 984

«Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»
2. Заявителями являются:

2.1. Граждане Российской Федерации <5>, достигшие 14-летнего возраста.
— <5> Далее — «гражданин».
 
2.2. Один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей <1> гражданина Российской Федерации — в отношении несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста или граждан, признанных судом недееспособными (ограниченно дееспособным

.Если же откажут, берите официальный отказ и обжалуйте в судебном порядке.