И следующий вопрос - насколько вообще правомерно делать вход в паркинг под жилым помещением?

Добрый день, Любовь.

Запрещено размещение стоянки непосредственно под квартирой, должен быть промежуточный технический этаж или этаж с нежилыми помещениями:

СНиП 31-01-2003 Здания жилые многоквартирные

4.15 При устройстве в жилых зданиях встроенных или встроенно-пристроенных автостоянок следует соблюдать требования СНиП 21-02. Этажи жилые и этажи с помещениями для детских дошкольных учреждений и лечебно-профилактических учреждений должны отделяться от автостоянки техническим этажом.

Из фото не совсем ясно, что под Вашей квартирой — только вход (тамбур перед входом) в автостоянку или также и сама автостоянка. 

Если сама автостоянка, то конечно, это незаконно, нарушены строительные нормы. Вы вправе требовать через суд запрета данной стоянки, если конечно, не боитесь вступить в конфликт с соседями-автовладельцами.

 Если под Вашей квартирой только вход, а сама автостоянка, где хранятся авто, находится в другом месте, то тоже можете требовать устранения связанных с этим обстоятельством неудобств в пользовании Вашей квартирой в соответствии со статьей 304 Гражданского кодекса РФ:

Собственник может требовать устранения всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения и не были соединены с лишением владения

Так как у Вас промерзает пол и возникает шум, то Вы вправе потребовать у УК и утеплить потолок, и сделать вход бесшумным и оборудованным доводчиком, а если откажется, то потребовать этого через суд.

С уважением, Роман.