Посоветуйте как мне быть в такой ситуации?

Значит вы вправе претендовать на половину как на супружескую долю. Это делается через нотариуса. Но все равно вторую половину  дома вам не оформить. Это могут сделать только дети.  

Добрый день, Анастасия. 

Согласно п. 1 ст. 1163 ГК РФ 

Свидетельство о праве на наследство выдается наследникам в любое время по истечении шести месяцев со дня открытия наследства, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом.

Днем открытия наследства считается дата смерти Вашего супруга. Учитывая, что у Вашего мужа есть сыновья, то раньше указанного срока нотариус не выдаст Вам свидетельство о праве на наследство, а это значит, что срочно продать квартиру пока не получится. Как вариант попросите детей мужа написать нотариусу отказ от вступления в наследство, в таком случае нотариус может оформить на Вас наследство после получения отказа на основании п. 2. ст. 1163 ГК РФ. Если по истечении срок для вступления в наследство (6 месяцев с даты смерти мужа), дети не вступят в наследство (не обратятся к нотариусу с соответствующим заявлением), то Вы вправе требовать от нотариуса оформления дома полностью на Вас. По практике нотариусы в этом случае подстраховываются и все равно ждут других наследников, но у Вас будет полное право получить свидетельство о праве на наследство путем обжалования бездействия нотариуса в суд. 

Если они не вступят в наследство, то доля бывшего мужа уйдёт государству, его продадут по очень низкой цене и я останусь без всего.

Анастасия

Нет, в этом случае доля мужа не уйдет государству, при условии что Вы подали заявление на вступление в наследство в установленный срок.