Здравствуйте, хотела бы узнать могу ли я поставить мужа на учёт в центр занятости если у него утеряна трудовая книжка

Добрый день, Зинаида!
Ваш супруг может встать на учёт в центр занятости только по паспорту в соответствии с п. 3 Постановления Правительства РФ от 7 сентября 2012 г. N 891 «О порядке регистрации граждан в целях поиска подходящей работы, регистрации безработных граждан и требованиях к подбору подходящей работы».

Но для получения пособия необходимо предоставить трудовую книжку. Для этого Вам необходимо её восстановить. 

Согласно п.31 Постановлению Правительства РФ от 16.04.2003 N 225 «О трудовых книжках"

31. Лицо, утратившее трудовую книжку, обязано немедленно заявить об этом работодателю по последнему месту работы. Работодатель выдает работнику дубликат трудовой книжки не позднее 15 дней со дня подачи работником заявления.

Если у Вас есть копия трудовой книжки, то приложите копию, желательно заверенную. В заявлении при постановке на учёт следует указать, что трудовая книжка утеряна и будет предоставлена позднее.