Могу ли я подать на него в суд если без моего согласия он провел экспертизу дек?

Анна, в суд  обращаются в случаях, когда нарушены имеющиеся или предполагаемые права. Из вашего вопроса непонятно, какое ваше право нарушил биологический отец вашего ребёнка, обратившись за экспертизой ДНК? Ущемление вашего самолюбия или ваших представлений о справедливости нельзя назвать нарушением ваших прав. Возможно, папаша не был уверен в своиём отцовстве (имеет право сомневаться, почему нет?) и поэтому не содержал и не платил алиментов — это же закономерно и логично. Другой разговор, если он убедился, что ребёнок от него, тогда включается его обязанность содержать своего ребёнка и воспитывать его (то есть включается ваше право требовать от него этого).