Может ли такой договор считаться действительным?

Здравствуйте. Отсутствие подписи в договоре аренды не влечет его недействительность. Вы более года пользовались арендованным помещением и оплачивали арендную плату периодичными платежами арендодателю. Данные обстоятельства свидетельствуют о заключении с Вами данного договора. Гражданским кодексом предусмотрены различные виды сделок, в том числе и оферта. Согласно ст. 435 ГК РФ офертой признается адресованное одному или нескольким конкретным лицам предложение, которое достаточно определенно и выражает намерение лица, сделавшего предложение, считать себя заключившим договор с адресатом, которым будет принято предложение. Совершение лицом, получившим оферту, в срок, установленный для ее акцепта, действий по выполнению указанных в ней условий договора (отгрузка товаров, предоставление услуг, выполнение работ, уплата соответствующей суммы и т.п.) считается акцептом согласно ст. 438 ГК РФ. Следовательно, требования арендодателя с Вас стоимости арендной платы правомерны. Мало того, расторгнуть досрочно договор аренды возможно только, уведомив об этом сторону за три месяца согласно ч. 2 ст. 610 ГК РФ. Следовательно, если вы не уведомили о расторжении договора аренды, то за эти три месяца так же должны будете заплатить. Электронный документооборот у нас так же подтверждает факт наличия сделки. 

Договором признается соглашение двух или нескольких лиц об установлении, изменении или прекращении гражданских прав и обязанностей.

Сделка в письменной форме должна быть совершена путем составления документа, выражающего ее содержание и подписанного лицом или лицами, совершающими сделку, либо должным образом уполномоченными ими лицами.Письменная форма сделки считается соблюденной также в случае совершения лицом сделки с помощью электронных либо иных технических средств, позволяющих воспроизвести на материальном носителе в неизменном виде содержание сделки, при этом требование о наличии подписи считается выполненным, если использован любой способ, позволяющий достоверно определить лицо, выразившее волю. Законом, иными правовыми актами и соглашением сторон может быть предусмотрен специальный способ достоверного определения лица, выразившего волю.

Договор в письменной форме может быть заключен путем составления одного документа (в том числе электронного), подписанного сторонами, или обмена письмами, телеграммами, электронными документами либо иными данными в соответствии с правилами абзаца второго пункта 1 статьи 160 ГК РФ.
В Вашем случае, если арендатор докажет об обстоятельствах на которых основывает свои требования, то все понесенные им убытки суд (не стоит опираться на мнение 1,2 и 3 инстанции)  обяжет  возместить с  причинителя, т.е. все зависит на сколько заинтересован арендатор в разрешении этого вопроса.