Как можно продлить опеку, если биологическая мать не хочет забирать ребенка?

да, на время пребывания мамы в местах лишения

Добрый день, Елена!

СК РФ Статья 145. Установление опеки или попечительства над детьми, оставшимися без попечения родителей

(в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

 
1. Опека или попечительство устанавливаются над детьми, оставшимися без попечения родителей (пункт 1 статьи 121 настоящего Кодекса), в целях их содержания, воспитания и образования, а также для защиты их прав и интересов.
2. Опека устанавливается над детьми, не достигшими возраста четырнадцати лет.
Попечительство устанавливается над детьми в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет.
3. Отношения, возникающие в связи с установлением, осуществлением и прекращением опеки и попечительства над детьми, оставшимися без попечения родителей, регулируются Гражданским кодексом Российской Федерации, Федеральным законом «Об опеке и попечительстве» и принимаемыми в соответствии с ними иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы семейного права.
(п. 3 в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

4. Устройство ребенка под опеку или попечительство осуществляется с учетом его мнения. Назначение опекуна ребенку, достигшему возраста десяти лет, осуществляется с его согласия.
(п. 4 введен Федеральным законом от 24.04.2008 N 49-ФЗ)

5. Передача братьев и сестер под опеку или попечительство разным лицам не допускается, за исключением случаев, если такая передача отвечает интересам детей.
(п. 5 введен Федеральным законом от 24.04.2008 N 49-ФЗ)

6. Устройство ребенка под опеку или попечительство допускается в соответствии с Федеральным законом «Об опеке и попечительстве» по договору об осуществлении опеки или попечительства, в том числе по договору о приемной семье, либо в случаях, предусмотренных законами субъектов Российской Федерации, по договору о патронатной семье (патронате, патронатном воспитании).
(п. 6 введен Федеральным законом от 24.04.2008 N 49-ФЗ)

7. При устройстве ребенка под опеку или попечительство по договору об осуществлении опеки или попечительства требуется принятие акта органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя, исполняющего свои обязанности возмездно.
При необоснованном уклонении органа опеки и попечительства, который принял акт о назначении опекуна или попечителя, исполняющих свои обязанности возмездно, от заключения договора об осуществлении опеки или попечительства опекун или попечитель вправе предъявить органу опеки и попечительства требования, предусмотренные пунктом 4 статьи 445 Гражданского кодекса Российской Федерации.
При устройстве ребенка под опеку или попечительство по договору об осуществлении опеки или попечительства права и обязанности опекуна или попечителя по представительству и защите прав и законных интересов ребенка возникают с момента принятия акта органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя. Право опекуна или попечителя на вознаграждение возникает с момента заключения этого договора.

В данном случае, вам необходимо получить решение от органов опеки и попечительства об установлении опекунства, либо через суд. 

После этого подавайте исковое заявление в суд о лишении родительских прав матери ребенка. Лишить ее родительских прав не составит проблем, ввиду ее отрицательной характеристики.